Lisn’s Blog🎓View(MVPV)变换
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最近觉得光看Yan的课程对知识点的感知程度不够，有些对于老师来说理所当然的基础知识，对我来说不是那么直观。因此，我打算配合虎书一起食用。
前言
所谓View变换，主要是对图像的顶点和线框(wireframe)进行变换，将其从3D的世界坐标转换为2D的屏幕坐标。
而这其中涉及到一些关键变换包括：
- Model Transformation，模型的局部坐标转换为世界坐标（其实就是摆放模型）。
- Camera(View) Transformation，将相机摆放在标准位置。
- Projection Transformation，将图像投影到[-1,1](x, y)的标准矩形当中。
- orthographic projection
- perspective projection
- Viewport Transformation（视口变换），将2D平面中的信息转换到屏幕上。
Camera Transformation
基本原理
相机变换（直译）的目标是将相机放在标准位置之上。
在虎书当中，相机由三个要素定义
- 位置
- 向上方向（top）
- 注视方向（gaze direction）
而标准位置的定义为：
- 相机的位置 与原点 重合
- 与 y 轴重合
- 看向 -z 方向
这样定义的好处有：
- 方便投影，保留xy即可。
- 方便进行后续的深度测试，因为z代表了深度。
根据相对运动的原理，我们只需要将世界中的其他顶点进行相同的变换，即可保证相机与物体之间的相对位置关系不变。
变换矩阵
很自然的，用语言描述想要的变换：
- 将相机放置在原点
- 旋转相机到标准位置
因此，将复合变换拆解成简单变换即可。
假设以目前相机所在位置，建设的坐标系为
平移矩阵可以轻松的写出：
而旋转矩阵是一个正交矩阵，根据矩阵变换的原理，我们可以写出
Projection Transformation
投影变换的过程会稍显复杂，但是不困难。
orthographic projection
我们将要投影的空间范围定义为轴对齐的立方体。
正交投影分为两个过程
- 移动到原点
- 缩放为标准立方体 [-1,1](x,y,z)
和相机变化的逻辑类似，我们可以轻易的写出正交投影的变换矩阵：
且
注意先后顺序，仿射变换先进行线性变换，再进行平移。
相乘得到复合变换
在🐯书当中，相机看向-z方向。因此，n > f。
perspective projection
基本原理
透视投影就比较复杂了，它与正交投影有一个明显的区别：
在距离观测点（eye/camera）越远的地方，物体越小，也就是近大远小。
而近大远小的直观体现，就是投影的大小随着z轴变动，即(x,y)与|z|成正比。
可以用相似三角形解释其原理：
具体表现为：
如果我们能写出来一个变换矩阵，同时对(x,y)进行上述的变换，就可以轻松的解决透视投影的问题。
可惜，目前我们定义点/向量的方式无法支持除法操作。
拓展坐标表达
回顾三维空间中的点表达方式：
三维向量
使用的形式表达点。
这时，我们的变换矩阵仅能对该点进行线性变换，即：
齐次坐标
这时，使用的方式来表示点。
齐次坐标的引入，让我们可以进行仿射变换（先进行线性变换，后进行平移）：
对齐次坐标进行拓展
我们定义一个点坐标，其表达的世界空间中的点为：
则我们引入了更多的变换：
同理，对于也会有类似的变换。
这样的变换有一个限制，坐标变换的除数是一样的！
变换矩阵
根据上述知识，我们可以凭借直觉写出一个可行变换矩阵：
如果将该矩阵进行乘法缩放，不会影响变换的效果，因为该矩阵同时对除数和被除数进行变换。
接下来，我们可以尝试写出二维形式的透视投影矩阵：
变换后，得到 ，即 ，实现了透视投影！
对于三维情况，我们假设n投影平面，f为远平面（类似正交投影的概念）。
写出矩阵：
前两行分别完成了对x，y的变换，第三行是对z的变换。
可能会有人疑惑，为什么对z的变换如此突兀，不自然，反直觉？
究其原因，是因为投影本身只需要保持(x,y)即可。
所以对z只有可用性的要求：
- n，f平面上的点的z坐标不变。
- z 需要保留其距离的语义，即支持通过对变换的的比对，判断出在世界空间中两点的深度。
因此，在虎书当中，给出的是这样一行z的变换，不同实现当中可能也有不同的表达，但是都应该满足上述两点需求。
变换举例：
经过这一变换，我们将一个截断的棱锥变为了一个轴对齐的立方体：
在完成透视变换后，直接衔接正交投影矩阵即可:
得到的变换矩阵如下：
看向-z方向，所以 n < f
有些时候，我们想获得投影点的原始世界坐标，直接进行逆变换即可：
逆变换矩阵
当然，根据之前提到过的性质，我们可以将其变的美观一些，放大
FOV(field-of-view)
如何定义一个透视投影区域？
f平面的宽高比应该和n平面的宽高比相同，因此，我们只需要额外获得透视角度的信息即可。
有了角度 ，我们就可以定义出完整的变换区域，根据：
Viewport Transformation
经过上述变换后，我们拥有了一个[-1,1](x,y,z)的标准视体，我们只需要将其投影到屏幕之上即可。
已知像素个数 ，分别表示x方向和y方向的像素个数。
一般起点为左下角，如果起点在右上方，旋转变换即可。
记得对像素点的定义，像素中心点位于整数坐标之上，是长度为1的正方形。因此，变换后的范围在之间，变换如下：
将长宽缩放，在进行移动，这是一个仿射变换，所以可以直接写出：
总结
至此，我们可以得到对没个顶点并行处理的变换矩阵：
基本的变换流程为：
🔗参考资料
- 《fundamentals of computer graphics 4th》
- 《games101》课程
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- Twikoo